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2017/11/14

Logique tétravalente (Partie 1)


Aristote a dit : « l’être est tout ce qu’il connaît », de telle sorte que, là où il y a connaissance réelle – non son apparence ou son ombre – la connaissance et l’être sont une seule et même chose.
(R. Guénon, Mélanges, Chap. VI « Connais-toi toi même », 1976, Pp. 56)


Toute la connaissance moderne est fondée sur la logique. À quelques rares exceptions près -appareillage technique utilisant la logique floue ou des états de la physique quantique- l’ensemble des sciences naturelles et humaines (y compris la philosophie occidentale depuis au moins Platon) repose sur la logique classique, établissant la véracité ou la fausseté d’une proposition.

La logique classique présente pourtant des limites connues depuis son origine. On range négligemment ces situations, pourtant exprimables en quelques phrases simples, parmi les paradoxes.
Les conséquences du refus de traiter ces situations paradoxales sont des plus critiques, puisque cette lacune nous oblige à plaquer des œillères sur notre compréhension du monde et de soi.
Puisque plus personne ne peut ignorer que le monde moderne traverse une crise ultime, toute contribution visant à élargir le cadre des possibles est la bienvenue, et même pourrions-nous dire, est nécessaire. C’est l’objectif de cet article.

Nous commencerons par un bref historique de la logique, en remontant avant l’apparition de la logique classique, où nous verrons au passage que la logique naît de la métaphysique. Ce qui nous conduira à un dialogue interposé entre Héraclite, Aristote, Granger et Guénon.

Nous proposerons ensuite une formalisation d’une logique tétravalente avec ses tables de vérité, après en avoir expliqué la nécessité. Nous terminerons par l’application du cadre de cette logique à la sémantique de quelques attributs du manifesté et du non manifesté, où nous retrouverons à chaque fois les conceptions de la Tradition.

Tout commence par une négation


Si l’on prend une proposition P et sa négation logique non(P) on peut se placer dans l'un des trois cas suivants :
  • cas 1 : P est vraie ou bien non(P) est vraie, exclusivement ;
  • cas 2 : P et non(P) sont toutes deux vraies, simultanément ;
  • cas 3 : ni P ni non(P) ne sont vraies, simultanément.

Héraclite d’Ephèse (~541 - ~480 av. J.-C.), descendant du roi d’Athènes et issu d’une famille sacerdotale, proclamait l'unité et l'indissociabilité des contraires, c’est-à-dire la prise en compte du cas 2, comme en témoigne ses Fragments :
« Toutes choses naissent selon l'opposition... Le changement est une route montante-descendante et l'ordonnance du monde se produit selon cette route... »
« Toutes choses sont mutuellement contraires. » 
« Le dieu est jour-nuit, hiver-été, guerre-paix, satiété-faim. Il se change comme quand on y mêle des parfums ; alors on le nomme suivant leur odeur. » 

« Ce qui est taillé en sens contraire s'assemble ; de ce qui diffère naît la plus belle harmonie ; tout devient par discorde. » 

« C'est la maladie qui rend agréable et bonne la santé, la faim la satiété, la fatigue le repos. » 

« Ce qui est contraire est utile; ce qui lutte forme la plus belle harmonie; tout se fait par discorde. » 

« Joignez ce qui est complet et ce qui ne l’est pas, ce qui concorde et ce qui discorde, ce qui est en harmonie et en désaccord ; de toutes choses une et d’une, toutes choses. » 

« Ils ne comprennent pas comment ce qui lutte avec soi-même peut s’accorder. L’harmonie du monde est par tensions opposées, comme pour la lyre et pour l’arc. » 

« Il y a une harmonie dérobée, meilleure que l’apparente et où le dieu a mêlé et profondément caché les différences et les diversités. » 

« Mort du feu, naissance pour l’air ; mort de l’air, naissance pour l’eau. » 

« Même chose ce qui vit et ce qui est mort, ce qui est éveillé et ce qui dort, ce qui est jeune et ce qui est vieux ; car le changement de l’un donne l’autre, et réciproquement. »

Le principe de non-contradiction rejette le cas 2 : on ne peut pas penser P et non(P) vraies à la fois.
Le principe de non-contradiction est un axiome, c’est-à-dire qu’il est pris comme une vérité première qui contribue à démontrer les autres théorèmes, mais lui-même ne peut être déduit, démontré. C’est une invention relativement récente. Il a été popularisé par Platon (428 – 348 av. J.C.) dans La République (IV, 436b) et surtout par Aristote (~384 - ~322 av. J.-C.) : « Il est impossible qu’un même attribut appartienne et n’appartienne pas en même temps et sous le même rapport à une même chose » (Métaphysique, livre Gamma, chap. 3, 1005 b 19-20).

Le tiers exclu a été introduit par Aristote comme conséquence du principe de non-contradiction.
Le tiers exclu (souvent qualifié à tort de principe) soutient que soit une proposition est vraie, soit sa négation est vraie. On ne peut pas penser le troisième cas hypothétique qui est donc rejeté. [1]

Il est essentiel de remarquer que depuis la plus haute antiquité la connaissance du vrai et du faux est une expérience de pensée. La construction de la logique découle de la connaissance de l’être, c’est-à-dire de la métaphysique. (Voir à ce propos G.G. Granger, Sciences et Réalité, Chap. De l’être au réel : le réel, concept moderne)

La conjonction du principe de non-contradiction et du principe du tiers exclu ont participé à fonder la logique mathématique formelle dite classique.

En plus de sa syllogistique non-modale, Aristote a dévelop une syllogistique modale dans le Livre I de ses Premiers Analytiques (ch. 8–22).
Le premier système formel de logique modale a été développé par Avicenne, qui a proposé une théorie de la syllogistique modale temporelle. La logique modale en temps que sujet d’étude doit beaucoup aux écrits des Scholastiques, en particulier Guillaume d'Ockham et Jean Duns Scot, principalement pour l’analyse des assertions sur l’essence et l’accident.

Les « logiques polyvalentes » mettent en question le tiers exclu dès Lukasiewicz en 1910, qui revient à l'antique question des « futurs contingents » : si une proposition qui concerne le futur pouvait être caractérisée au présent déjà comme vraie ou fausse, on devrait admettre que le cours des événements est déterminé à l'avance. Les logiques polyvalentes contestent le principe du tiers exclu. Elles reconnaissent d'autres valeurs que le vrai et le faux, elles admettent des modalités comme le possible, ou, en deçà, l'impossible (qui est un faux renforcé), et au-delà le nécessaire (degré supérieur du vrai).
Les algèbres modaux développés depuis le XXe siècle fournissent des modèles au calcul propositionnel des logiques modales au même titre que les algèbres de Boole sont des modèles pour la logique classique. [2]

Il existe désormais tout un continuum de logiques intermédaires, couvrant de la logique intuitionniste à la logique classique, en fonction notamment du nombre retenu des modalités (ou valeurs de vérité) et des axiomes choisis pour constituer le système logique.

Quel système est le plus pertinent à utiliser pour refonder notre connaissance, après la logique binaire ?

Les sciences nous font-elles vraiment découvrir la réalité des choses ? Construisent-elles de toutes pièces le monde dans leurs laboratoires, pour nous forcer ensuite à y croire ?

G.G.Granger, professeur au collège de France, a argumenté que la réalité scientifique n’était qu’un mode d’accès à un certain type d’objets :
« La validation s’exerce d’abord par un auto-contrôle de l’application de règles opératoires, elles-mêmes objets formels d’une logique. Mais ce qui distingue fondamentalement cet auto-contrôle, c’est justement qu’il porte en définitive non sur des éléments isolés de l’objet formel logico-mathématique, mais sur la totalité d’un système. On le caractérise alors par le préfixe « méta » : il ne s’agit plus simplement de raisonner au niveau d’une logique ou d’une mathématique , mais à un niveau méta-mathématique supérieur. Un système formel est alors éprouvé dans sa structure totale, du point de vue de sa non-contradiction, de sa complétude et de sa fécondité. Le premier critère normalement attendu de sa réalité est assurément l’établissement de sa non-contradiction. Mais on a compris depuis Tarski et Gödel au cours du siècle qui vient de finir que l’établissement par des moyens méta-mathématiques de l’indépendance de certaines parties du système, de la vérité de certaines propositions en même temps que l’impossibilité de les démontrer dans le système, et même l’impossibilité de démontrer à son propre niveau mathématique la non-contradiction du système, étaient aussi en un nouveau sens des attributs de sa réalité.[…] On voir donc que dans tous les cas la réalité scientifique est nécessairement dépendante d’un usage de l’imagination conceptuelle. » (Sciences et Réalité, Ed. Odile Jacob, 2001, Chap. 8 « Systèmes et réalité », Pp. 241-2)

Nous avons souligné que la construction de la logique découle de la connaissance de l’être, c’est-à-dire de la métaphysique. Il est donc obligatoire de se pencher sur ce que nous apporte la Tradition à ce sujet. Nous utilisons un T majuscule pour signifier que nous remontons plus loin qu’Aristote et Platon. Nous avions commencé avec Héraclite, nous continuons dans les pas de René Guénon, en commençant par expliquer l’importance des ternaires.


Après 2 il y a 3, qui donnent naissance à 4


« Ce que nous venons de dire détermine déjà le sens de la Triade, en même temps qu’il montre la nécessité d’établir une distinction nette entre les ternaires de différents genres ; [...]

L’un de ces deux genres est celui où le ternaire est constitué par un principe premier (au moins en un sens relatif) dont dérivent deux termes opposés, ou plutôt complémentaires, car, là même où l’opposition est dans les apparences et a sa raison d’être à un certain niveau ou dans un certain domaine, le complémentarisme répond toujours à un point de vue plus profond, et par conséquent plus vraiment conforme à la nature réelle de ce dont il s’agit ; un tel ternaire pourra être représenté par un triangle dont le sommet est placé en haut (fig. 1).


L’autre genre est celui où le ternaire est formé, comme nous l’avons dit précédemment, par deux termes complémentaires et par leur produit ou leur résultante, et c’est à ce genre qu’appartient la Triade extrême-orientale ; à l’inverse du précédent, ce ternaire pourra être représenté par un triangle dont la base est au contraire placée en haut (fig. 2)


Si l’on compare ces deux triangles, le second apparaît en quelque sorte comme un reflet du premier, ce qui indique que, entre les ternaires correspondants, il y a analogie dans la véritable signification de ce mot, c’est-à-dire devant être appliquée en sens inverse ; et, en effet, si l’on part de la considération des deux termes complémentaires, entre lesquels il y a nécessairement symétrie, on voit que le ternaire est complété dans le premier cas par leur principe, et dans le second, au contraire, par leur résultante, de telle sorte que les deux complémentaires sont respectivement après et avant le terme qui, étant d’un autre ordre, se trouve pour ainsi dire comme isolé vis-à-vis d’eux. C’est ce que précise encore, dans les deux figures, le sens des flèches, allant, dans la première, du sommet supérieur vers la base, et, dans la seconde, de la base vers le sommet inférieur ; [...] ; et il est évident que, dans tous les cas, c’est la considération de ce troisième terme qui donne au ternaire comme tel toute sa signification.

Maintenant, ce qu’il faut bien comprendre avant d’aller plus loin, c’est qu’il ne pourrait y avoir « dualisme », dans une doctrine quelconque, que si deux termes opposés ou complémentaires (et alors ils seraient plutôt conçus comme opposés) y étaient posés tout d’abord et regardés comme ultimes et irréductibles, sans aucune dérivation d’un principe commun, ce qui exclut évidemment la considération de tout ternaire du premier genre ; on ne pourrait donc trouver dans une telle doctrine que des ternaires du second genre […]

La considération de deux ternaires comme ceux dont nous venons de parler, ayant en commun les deux principes complémentaires l’un de l’autre, nous conduit encore à quelques autres remarques importantes : les deux triangles inverses qui les représentent respectivement peuvent être regardés comme ayant la même base, et, si on les figure unis par cette base commune, on voit d’abord que l’ensemble des deux ternaires forme un quaternaire, puisque, deux termes étant les mêmes dans l’un et dans l’autre, il n’y a en tout que quatre termes distincts, et ensuite que le dernier terme de ce quaternaire, se situant sur la verticale issue du premier et symétriquement à celui-ci par rapport à la base, apparaît comme le reflet de ce premier terme, le plan de réflexion étant représenté par la base elle-même, c’est-à-dire n’étant que le plan médian où se situent les deux termes complémentaires issus du premier terme et produisant le dernier (fig. 3).


Nous venons de voir que les deux termes extrêmes du quaternaire, qui sont en même temps respectivement le premier terme du premier ternaire et le dernier du second, sont l’un et l’autre, par leur nature, intermédiaires en quelque sorte entre les deux autres, quoique pour une raison inverse : dans les deux cas, ils unissent et concilient en eux les éléments du complémentarisme, mais l’un en tant que principe, et l’autre en tant que résultante. »
(La grande triade, 1946, Chap. II – Différents genres de ternaires)

René Guénon a développé plus en détail la signification du quaternaire dans Le Symbolisme de la croix (1931), qui est entièrement cohérente avec le passage ci-dessus.


Le carré d’Aristote


En logique modale classique, on dégage quatre modalités pour évaluer une proposition :
  • nécessaire (si et seulement si la proposition n’est pas possiblement faux ; « ce qui ne peut pas ne pas être vrai ») ;
  • contingent (si et seulement si la proposition n’est pas nécessairement fausse et pas nécessairement vraie ; « ce qui peut être faux ») ;
  • possible (si et seulement si la proposition n’est pas nécessairement fausse ; « ce qui peut être vrai ») ;
  • impossible (si et seulement si la proposition n’est pas possiblement vraie ; « ce qui ne peut pas ne pas être faux »).

« Une autre manière de faire apparaître les relations unissant les quatre modalités est de disposer celles-ci selon une configuration en carré, qui remonte au moins à Aristote. Le carré des modalités est isomorphe au carré logique des termes et à celui des propositions de forme A (universelle affirmative), E (universelle négative), I (particulière affirmative) et O (particulière négative) de la logique aristotélicienne (fig. 4).

Fig. 4
Il y a, dans chacun de ces carrés, quatre types fondamentaux de relations entre leurs quatre termes respectifs : de contradiction ou de négation (sur les diagonales) de contrariété ou d’incompatibilité (sur le côté horizontal supérieur) de subcontrariété ou de disjonction non exclusive (sur le côté inférieur) de subalternation ou d’implication (sur les côtés verticaux). » (Lucien Scubla, L’aporie de Diodore Cronos et les paradoxes de la temporalité. Jean-Pierre Dupuy et la philosophie, 2007)

Ces 4 modalités sont liées, il suffit d'une pour définir les trois autres. L'interprétation en logique intuitive est la suivante :
  • impossible ≡ nécessaire que ne… pas ;
  • possible ≡ non impossible ≡ non nécessaire que ne… pas
  • contingent ≡ non nécessaire ≡ possible que ne... pas;
Dans cette interprétation, le possible et l’impossible découlent du nécessaire. Le contingent découle également du possible, mais aussi du possible (et donc de l’impossible). Le carré modal n’est ainsi qu’une déformation amoindrie du losange décrit par Guénon, basé sur 2 triangles équilatéraux à la place de triangles rectangles isocèles (Fig. 5). Cet amoindrissement, exemple d’une perte partielle de sens progressive, est un cas particulier dont la généralité a été parfaitement expliquée par Guénon (La crise du monde moderne, Le règne de la quantité et les signes des temps). [3]

Fig. 5

Remarquons combien la conceptualisation décrite par Guénon s’accorde et prolonge la conclusion de G.G. Granger :
« La réalité des objets de science signifierait donc, selon nos analyses, un certain rapport entre un aspect virtuel et un aspect actuel de la représentation de l’expérience. Tel serait le sens d’une unité de la science, unité qu’il ne servirait de rien de désigner simplement comme « concordance » des deux aspects. Il est donc légitime d’employer le pluriel pour se référer aux réalités scientifiques, dans la mesure où, comme on a voulu le montrer, la pensée de la science, dans chacun de ses domaines, détermine des critères spécifiques de son atteinte du réel. » (Sciences et réalité, Conclusion, Pp. 243)

Cet essai se prolonge par le calcul propositionnel formel en logique tétravalente, détaillé dans la deuxième partie.

__________________________

[1] En logique binaire classique, le théorème du tiers exclu se déduit du principe de non-contradiction en introduisant la relation d’égalité ou d’équivalence, l’opérateur de négation booléen, en acceptant les axiomes supplémentaires :
  • principe d’identité : P = P
  • élimination de la double négation : non(non(P)) = P
puis en établissant les valeurs des tables de vérité des opérateurs NON, ET et OU et en démontrant au préalable l’égalité non (A et B) = non(A) ou non(B).

Le principe de non-contradiction est la proposition « P et non(P) = FAUX »
implique la proposition : « non (P et non(P)) = VRAI »
implique la proposition : « non(P) ou non(non(P)) = VRAI »
implique la proposition : « non(P) ou P = VRAI »
implique que « P est VRAI » ou « non(P) est VRAI »
donc la proposition du tiers exclu est vérifiée.

[2] Lewis a fondé la logique modale moderne dans sa thèse soutenue en 1910 à Harvard et dans une série d’articles publiés entre 1912 et 1932, date de diffusion de son livre Symbolic Logic rédigé en collaboration avec Langford.
Les logiciens Brouwer puis Heyting en 1930 ont critiqué, au nom de la « logique intuitionniste », un certain type de raisonnements tenus selon le principe du tiers exclu appliqué à des ensembles finis. Ils estiment qu'on n'a logiquement pas le droit d'inférer la vérité d'une proposition de la fausseté de sa négation. Heyting ne dit pas que le principe du tiers exclu est toujours erroné, mais il en limite la portée.

La structure mathématique de la logique modale, c’est-à-dire des algèbres de Boole augmenté par des opérations unaires (souvent appelés algèbres modaux), a commencé à émerger avec McKinsey qui a montré en 1941 que les systèmes S2 et S4 de Lewis étaient décidables.

[3] Pourquoi une représentation sous forme de losange et pas un tétraèdre ? Ce dernier placerait au même niveau la Contingence et les domaines du Possible et de l’Impossible. Il « raccourcirait » la distance qui sépare la Contingence de la Nécessité. Rien ne nous permet de justifier ces assertions. Au contraire, nous verrons dans la dernière partie combien il est utile de conserver le modèle du losange.